Equações de Bloch

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As equações de Bloch em Óptica descrevem a evolução temporal dos elementos da matriz densidade (populações dos estados atômicos e as coerências entre esses estados) devido à interação com campos eletromagnéticos.

A evolução da matriz densidade é dada pela equação de Liouville:

 

Vou escrever as equação de Bloch para o caso mais simples possível, isto é, um átomo de dois níveis interagindo com um laser monocromático.

Vamos supos que o laser emite frentes de onda eletromagnéticas planas. Negligenciando a parte da oscilação magnética, podemos escrever a oscilação da componente elétrica como



O Hamiltoniado de um átomo de dois níveis na ausência do campo eletromagnético, é dado por


Átomos se comportam como dipolos elétricos na presença de campos elétricos. Dessa forma, o Hamiltoniado dessa interação é dado por


Vamos trabalhar dentro da aproximação semi-clássica. Isto é, o átomo é considerado como um sistema quântico, enquanto o campo é clássico. A evolução temporal do elemento ij da matriz densidade pode ser escrito como


Em um sistema de dois níveis, o operador densidade pode ser representado como uma matriz 2x2. Seus elementos da diagonal representam as populações dos estados quânticos, e os elementos fora da diagonal representam as coerências (relações de fase)  entre esses estados.

Fazendo uso da relação de completeza, chegamos em


Após algumas contas, essas equações se tornam


, onde


é a frequência de Rabi do acoplamento átomo-campo. Consideramos que o campo (elétrico) está polarizado linearmente, digamos, na direção z, e escolhemos esse eixo como o de quantização.

Essas equação descrevem processos como absorção e emissão estimulada de luz pelos átomos. Há, porém, um fenômeno importante que essas equação não descrevem. É a emissão espontânea, que aparece nas equações apenas quando levamos em conta o acoplamento do meio com os modos do vacuo. Para levar em conta as relaxações da população e da coerência, devemos incluir alguns termos de forma fenomenológica. Assim, 


Essas são as equações de Bloch (ópticas) para um átomo de dois níveis na presença do campo elétrico.

Referência: L. Allen and J. H. Eberly, Optical  Resonance and Two-Level Atoms.